Cálculo de estructuras. Método matricial. Barras

In this tutorial, we are gonna solve the system in the figure above with the Direct Stiffness Method, to obtain the stress in the bars when the horizontal load is applied in 3. 

En este tutorial vamos a resolver el sistema de la figura por el método matricial para obtener los esfuerzos en las barras cuando se aplican las fuerzas indicadas en la figura.

Matriz de rigidez barra

The stiffness matrix for a single bar, where only axial stress is found is the following:
Esta es la matriz de rigidez de una barra biapoyada, donde sólo se transmiten esfuerzos axiles.

$$[K_b^{locales}]=\begin{bmatrix} EA/L & 0 & -EA/L & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\-EA/L & 0 & EA/L & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$$

Matriz de transformación

The previous stiffness matrix is written in local coordinates, so we would have to translate the coordinate from a local system to a global system, we need all of them to be in the same coordinate system, it is: the same x-axis and y-axis. We would use the angle of the truss with the global x-axis in the lowest number node.

La matriz de rigidez está en coordenadas locales de modo que tendremos que realizar una transformación de coordenadas, de locales a globales, ya que la matriz de rigidez global requiere de un criterio común para las barras.

$$[K_b^{globales}]= \frac{EA}{L} · \begin{bmatrix} c^2 & cs & -c^2 & -cs\\cs & s^2 & -cs & -s^2\\-c^2 & -cs & c^2 & cs\\ -cs & -s^2 & cs & s^2\end{bmatrix}$$

 

Matriz de rigidez global

Once you have all the matrices we would need to construct the global matrix of the problem. To do this we will join the matrices by parts, selecting the different sub-elements according to the distribution of the nodes. Check this out!

Debéis construirla a partir de las matrices de rigidez de cada barra en coordenadas globales. Dedicad un momento a ver esto, tenemos 3 tipos de matrices por ahora: matriz de barra en coordenadas locales, matriz de barra en coordenadas globales y matriz global en coordenadas globales.

Si os fijáis un momento en la matriz de barra 12 en coordenadas locales o globales, lo que tenemos es:

$$[K_a^{globales}]= \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} \\ K_{21} & K_{22}\end{bmatrix}$$

$$[K_b^{globales}]= \begin{bmatrix} K_{11} & K_{13} \\ K_{31} & K_{33}\end{bmatrix}$$

$$[K_c^{globales}]= \begin{bmatrix} K_{22} & K_{23} \\ K_{32} & K_{33}\end{bmatrix}$$

The subindex on each member of the matrix identifies a relation between the different degrees of freedom of the truss. The term 12 identifies the stiffness of the movement 2 when a load is applied in 1 and viceversa.

El subíndice indica donde influyen esos términos, es decir si tenemos 11, al aplicar una fuerza en uno, ese término nos dice que desplazamiento hay en uno o viceversa. El término 12 indica la relación entre el nudo 1 y el nudo 2 (fuerza en 1 y desplazamiento en 2, etc).

$$[K_{global}^{globales}]= \begin{bmatrix} k_{11} & k_{12} & k_{13}\\k_{21} & k_{22} & k_{23}\\k_{31} & k_{32} & k_{33}\end{bmatrix}$$

To proceed with this you must add the subelements with the same sub-indexes:
donde por ejemplo:

$$k_{11} = K_{11}^a + K_{11}^b$$

Sistema

The system we want to resolve is the following:
El sistema a resolver es de la forma:

$${F} = [K]{U}$$

where we need to identify the terms of the movements that are 0 to obtain a sub-system where the external forces are know and the values we look for are the movements:

donde debemos identificar los términos que son nulos en los desplazamientos para poder tener un sistema donde conozcamos las fuerzas exteriores y las incógnitas sean los desplazamientos.

 

Esfuerzos en barra

To obtain the stress in the truss, we need to do the opposite operation, we need to go from the global coordinate system to the local coordinate system. So we need to do the following with the movements to obtain the forces in the local coordinate system.

Hay que realizar un cambio de sistema, ya que tenemos los desplazamientos en coordenadas globales y nos interesa tenerlos en coordenadas locales. La expresión para el esfuerzo axil de la barra es el siguiente:

$$N = \frac{EA}{L}·\begin{bmatrix} -c & -s & c & s\end{bmatrix}·\begin{bmatrix}u_1 \\ v_1 \\ u_2 \\ v_2\end{bmatrix}$$