Wednesday, December 12, 2012

Valores propios de una matriz con Excel

Bueno en este tutorial vamos a ver una de las preguntas típicas cuando tratamos con matrices. Necesitamos calcular los valores propios de una forma rápida y sencilla. No existe la forma ideal que sería darle la matriz a Excel y que devolviera los valores.


Sin embargo, existe una forma de aplicar las ecuaciones que conocemos de forma que resulte un poco más intuitivo, para poder controlar en todo momento el trabajo.

El proceso propuesto es el siguiente:
  1. Generar una hoja de excel que permita ajustar mediante búsqueda de objetivo el valor a una tolerancia pequeña.
  2. Generar la ecuación característica para saber por donde se encuentran las raíces.
El proceso para obtener los valores propios es simple:
  1. Obtención de ecuación característica y puntos de cambio de signo.
  2. Búsqueda de ajuste fino para el valor exacto en el que el determinate se hace 0.
Y diréis, porqué así es mejor, pues por tres motivos. En primer lugar, al generar la hoja de excel y buscar por objetivo, ajustamos el valor con muchos decimales, de forma automática. No necesitamos ir introduciendo valores de forma manual. Si sabemos que existe una raíz en torno a 8, el programa nos generará el 8.21....

En segundo lugar, utilizamos la ecuación característica y la potencia para generar gráficas de Excel porque podemos ver de forma directa donde se encontrarán los valores propios. Es decir, añadiremos forma a una ecuación que a primera vista no nos dice nada.

Por último la simplicidad, al evitar el cálculo de las raíces del polinomio. Como sabéis calcular las raíces de un polinomio de más de 2º grado es muy tedioso, enseguida aparecen las raíces complejas, Cardano no funciona, etc.

Pues bien debéis hacer lo siguiente, vamos a ir recorriendo paso a paso lo que debéis hacer.

Construcción de la herramienta de búsqueda

En este apartado vamos a desarrollar una herramienta que nos permita ajustar el valor a una solución de la ecuación característica exacta. Debéis generar un sistema que se nos calcule:
$$det(A-\lambda ·I)=0$$
donde mediante búsqueda por objetivo haremos que el valor sea 0 modificando el valor de lambda.
La función básica que debéis usar mdeterm(matriz), que requiere una matriz de la forma A1:C3 si tenemos los valores en ese espacio.
Para operaciones con matrices, no pulsar INTRO sino CTRL+SHIFT+INTRO

Construcción de la ecuación característica

Ahora vamos a centrarnos en desarrollar la ecuación característica de una matriz 3x3 para poder representarla gráficamente y ver donde pueden estar las raíces.
$$A=\begin{bmatrix}a & b & c\\d & e & f\\g & h & i\end{bmatrix}$$
$$det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}a-\lambda & b & c\\d & e-\lambda & f\\ g & h &i-\lambda\end{vmatrix}$$
$$det(A-\lambda I)=(a-\lambda)(e-\lambda)(i-\lambda)+bfg+cdh-gc(e-\lambda)$$ $$-hf(a-\lambda)-db(i-\lambda)$$
En lugar de seguir por ahí, haciendo el determinante que es muy laborioso, hacemos la ecuación característica,
$$-\lambda^3+c_1·\lambda^2-c_2·\lambda+c_3=0$$
donde:
$$c_1=a+e+i$$
c2 vale $$c_2=d_1+d_2+d_3$$:
$$d_1 = \begin{vmatrix}a & b\\d & e\end{vmatrix}$$
$$d_2 = \begin{vmatrix}e & f\\h & i\end{vmatrix}$$
$$d_3 = \begin{vmatrix}a & c\\g & i\end{vmatrix}$$
c3 vale:
$$c_3=\begin{vmatrix}a & b & c\\d & e & f\\g & h & i\end{vmatrix}$$

Demostración de parámetros c1, c2 y c3

En esta sección vamos a demostrar de dónde salen los factores c1, c2 y c3. Hemos utilizado este método de c1, c2 y c3 porque es mucho más rápido, y no hay que desarrollar la ecuación característica paso a paso. De todas formas a continuación se muestra cómo se obtienen esos valores desarrollando la ecuación:
$$det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}a-\lambda & b & c\\d & e-\lambda & f\\ g & h &i-\lambda\end{vmatrix}$$
$$det(A-\lambda·I)=(a-\lambda)(e-\lambda)(i-\lambda)+bfg+cdh-gc(e-\lambda)-hf(a-\lambda)-db(i-\lambda)$$
$$(ae-a\lambda-e\lambda+\lambda^2)(i-\lambda)+bfg+cdh-gce+gc\lambda-hfa+hf\lambda-dbi+db\lambda$$
$$aei-ai\lambda-ei\lambda+i\lambda^2-ae\lambda+a\lambda^2+e\lambda^2-\lambda^3+bfg+cdh-gce+gc\lambda-hfa+hf\lambda-dbi+db\lambda$$
$$-\lambda^3+c_1·\lambda^2-c_2·\lambda+c_3=0$$
$$-\lambda^3+(a+e+i)\lambda^2-[(ae-bd)+(ei-hf)+(ai-ch)]\lambda+(aei+cdh+bfg-ceg-dbi-hfa)=0$$

Aquí están los vídeos en youtube:
Parte 1:
Parte 2:




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