Wednesday, December 12, 2012

Tensión equivalente Von Mises

En este tutorial se muestra como obtener la tensión equivalente de Von Mises para tener una idea de  cómo es el estado tensional al que está sometido el sólido.



Vamos a dividir el tutorial en dos secciones, ya que podemos optar por las dos opciones para obtener el valor con idéntico resultado. Aunque uno de los procesos es más lento, permite extraer otros valores y relacionar la tarea con el cálculo del círculo de Mohr.

En primer lugar vamos a aprender a obtener el valor directamente y a continuación mediante círculo de Mohr. No entraremos en teoría sobre cómo la tensión de Von Mises se relaciona con el tensor, energía, la probeta, etc.

Cálculo directo de la tensión equivalente de Von Mises

Si nos dan un estado tensional, que se representa a partir de su tensor de tensiones, podemos encontrar el valor de la tensión equivalente de Von Mises muy rápidamente. La ecuación es: 
$$\sigma_{eq}^{VM}=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2-\sigma_x\sigma_y+3\tau_{xy}^2}$$
Como véis el cálculo es directo, no tiene más, si la matriz nos la dan de la forma:
$$\begin{bmatrix}\sigma_x & \tau_{xy} \\\tau_{xy} & \sigma_y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 2 & 3\end{bmatrix}$$
Aplicamos la fórmula y ya está,
$$\sigma_{eq}^{VM}=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2-\sigma_x\sigma_y+3\tau_{xy}^2}=\sqrt{1^2+3^2-1·3+3·2^2}=4.359$$

Cálculo con círculo de Mohr

Ahora vamos a hacer esto mismo pero con el círculo de Mohr de por medio, imaginad que es un paso que piden en el ejercicio. Nos dicen obtener círculo de Mohr y obtener la tensión equivalente de Von Mises. El proceso es el siguiente, calculamos el círculo para conocer los valores principales y ahí usamos la siguiente fórmula:
$$\sigma_{eq}^{VM}=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2-\sigma_1 \sigma_2}$$
En otro post hablé más sobre esto, pero aquí un resumen:
El centro:
$$c=\sigma_{med}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}=\frac{1+3}{2}=2$$
El radio:
$$r=\tau_{máx}=\sqrt{(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2})^2+\tau_{xy}^2}=\sqrt{(\frac{1-3}{2})^2+2^2}=2.236$$
Valores:
$$\sigma_1=c+r=4.236$$
$$\sigma_2=c-r=-0.236$$
Y la fórmula
$$\sigma_{eq}^{VM}=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2-\sigma_1 \sigma_2}=\sqrt{4.23^2+(-0.23)^2-(4.23)·(-0.23)}$$
$$\sigma_{eq}^{VM}=4.359$$

Aquí está el vídeo en youtube mostrando ésto:



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